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La divisibilidad

Los múltiplos de un número

Los múltiplos de un número son el resultado de multiplicar ese número por cualquier otro.

Por ejemplo, para calcular los diez primeros múltiplos de 4 solo tenemos que ir multiplicando el 4 por 0, 1, 2, 3..., hasta el 9.

Para saber si un número A es múltiplo de otro B, solo tenemos que hacer la división A : B y comprobar que es exacta.

Rápidamente nos daremos cuenta que el 0 es múltiplo de todos los números, pues todos los números nos dan cero al multiplicarlos por cero. Precisamente por eso, no suele tenerse en cuenta cuando se pregunta por los múltiplos de un número; así que, los 10 primeros múltiplos de 4 serían estos.

Múltiplos de 4
4 x 1
4
4 x 2
8
4 x 3
12
4 x 4
16
4 x 5
20
4 x 6
24
4 x 7
28
4 x 8
32
4 x 9
36
4 x 10
40

De ahora en adelante para referirnos a los múltiplos de un número escribiremos m (n); es decir, escribiremos múltiplos de 4 así: m (4). Con lo que en el caso de nuestro ejemplo, escribiremos:

  • m (4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...

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Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el más pequeño de los múltiplos que se repitan (comunes) en esos dos o más números.

Las expresiones matemáticas que usaremos serán estas:

  • Múltiplos de 3 = m (3)
  • Mínimo común múltiplo de 3 y 4 = m. c. m. (3, 4)

Para calcular el m. c. m. (3, 4, 6) procederemos así:

  • m (3) = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,...
  • m (4) = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44...
  • m (6) = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48...
  • Observamos aquellos múltiplos que se repiten en las tres series y elegimos el más pequeño de ellos.
  • Luego m. c. m. (3, 4, 6) = 12

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Los divisores de un número

Los divisores de un número son todos los números que pueden dividirlo exactamente, es decir, que el resto es cero.

La expresión matemática que usaremos será así:

  • Divisores de 6 = d (6)

Algo más: Los números que sólo tienen dos divisores se llaman números primos, y los que tienen más de dos, números compuestos.

Para hallar los divisores de un número tendremos que ir haciendo todas las divisiones posibles y comprobando que su resto es cero.

Por ejemplo, para ver los divisores de 12 tendremos que hacer estas divisiones:

  • 12 : 1 = 12; resto 0
  • 12 : 2 = 6; resto 0
  • 12 : 3 = 4; resto 0
  • 12 : 4 = 3; resto 0
  • 12 : 5 = 2; resto 2
  • 12 : 6 = 2; resto 0
  • 12 : 7 = 1; resto 5
  • 12 : 8 = 1; resto 4
  • 12 : 9 = 1; resto 3
  • 12 : 10 = 1; resto 2
  • 12 : 11 = 1; resto 1
  • 12 : 12 = 1; resto 0

Todos los números que han dividido a 12 con resto cero son los divisores de 12. Luego:

d (12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12

Si nos fijamos atentamente, nos daremos cuenta que a partir de la mitad de las divisiones que hemos hecho, sólo en la última volvemos a tener en el resto cero. Eso mismo nos ocurrirá siempre.

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Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad nos permiten saber si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división.

Algunos de ellos son sencillos, aunque hay otros bastante complicados. A la derecha encontramos los primeros.

Si no te fías, puedes hacer la comprobación de los ejemplos haciendo las divisiones.

DIVISOR
CRITERIO
EJEMPLO
2
Cuando acaba en 0 o cifra par. 754 es divisible por 2, porque acaba en cifra par.
3
Cuando la suma de sus cifras es divisible por 3. 921 es divisible por 3, porque
9+2+1 = 12, y 12 es divisible por 3
4
Cuando el número formado por las dos últimas cifras es divisible por 4. 1.936 es divisible por 4, porque 36 es múltiplo de 4.
5
Cuando acaba en 0 o en 5. 4.875 es divisible por 5, porque acaba en 5.
6
Cuando es divisible por 2 y por 3. 954 es divisible por 6, porque acaba en cifra par, y 9+5+4 = 18 y 18 es múltiplo de 3
9
Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3.546 es divisible por 9, porque
3+5+4+6 = 18, y 18 es múltiplo de 9
10
Cuando acaba en 0. 34.870 es divisible por 10, porque acaba en 0.

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Máximo común divisor

El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de esos números.

Para hallarlo procederemos de manera semejante a como lo hicimos con el mínimo común múltiplo.

Las expresiones matemáticas que usaremos serán:

  • Divisores de 30 = d (30)
  • Máximo común divisor de 30 y 72 = m. c. d. (30, 72)

Para calcular el m. c. d. (30, 72) procederemos así:

  • d (30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
  • d (72) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
  • Observamos los divisores que se repiten en las dos series y elegimos el mayor de ellos.
  • Luego m. c. d. (30, 72) = 6

Pero hay un procedimiento más sencillo, sobre todo si los números son más grandes; es el conocido como descomposición en factores primos. Aunque os suene a chino ya veréis que es fácil.

Para descomponer un número en factores primos, lo dividimos por 2 tantas veces como el resultado vaya dando exacto, luego por 3 mientras vaya dando exacto, luego por 4, por 5...

Este método es imprescindible con números grandes, pues con el método anterior se nos hace eterno el ejercicio.

Usaremos el mismo ejemplo anterior: m. c. d. (30, 72)

30 : 2 72 : 2
15 : 3 36 : 2
5 : 5 18 : 2
1 9 : 3
3 : 3
1

De aquí obtenemos que:

  • 30 = 2 x 3 x 5; donde 2, 3 y 5 son los factores primos
  • 72 = 23 x 32; donde 2 y 3 son los factores primos
  • Ahora sólo tenemos que escoger los factores comunes a ambos números que tengan el menor exponente y multiplicarlos.
  • Estos factores son el 2 y el 3
  • Luego m. c. d. (30, 27) = 2 x 3 = 6

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